Фракталната структура на красотата

[mnogoznaiko]

Преди половин век фракталните са били медиини звезди. Вярвали са, че ги чака необикновено бъдеще, че ще променят света. 

Каква е тяхната съдба днес?

Книгата на природата е написана с езика на математиката, а нейната азбука са триъгълниците, окръжностите и други фигури — проповядвал през 1623 г. Галилей. Макар и красива, тази мисъл не издържа в практиката. Изброените от италианския учен фигури имат сериозен дефект: гледани отдалеч (силно умалени), не се различават — изглеждат като точки. От друга страна, силно увеличени, те стават все по-плоски и приличат на част от права. Същото се случва и с триизмерните фигури; затова мнозина вярвали, че Земята е плоска. Традиционните геометрични фигури „остават себе си“ само в определен мащаб. Междувременно природата оперира с всички мащаби едновременно!

Светът може да бъде описан най-добре с фигури, които не променят характеристиките си при увеличаване или намаляване. Такива като фракталите, които са се родили през 1958 г. в главата на Беноа Манделброт, френски математик. Работейки за фирмата 1ВМ и разполагайки с най-съвременните компютри, Манделброт развил нов дял от математиката, описвайки неправилностите в структурата да света.

НАКЪСАНИТЕ РАЗМЕРИ

Според Манделброт класическата (...) геометрия не може да опише формата на облака, планината, бреговата линия или дървото. Облаците нямат формата на кълбо, планините нямат формата на конус, бреговата линия не е окръжност, кората не е гладка, а светкавицата не преминава по правата. В едно от интервютата си Манделброт директно обвинил философите за това, че геометрията е толкова далече от реалния свят: Всичко това е заради Платон — казвал. Той е бил великолепен ум, но като математик е бил никой. Платон вярвал, че действителността е по-скоро вредна за математиката.

В книгата „Фрактална геометрия на природата“ Манделброт дава примери с бреговата линия на Великобритания. На картата в атласа Британските острови имат характерно разположение на заливите и носовете. Гледани на карта с по-малък мащаб, се разкриват поредните заливи и носове, незабележими преди това. Накрая, когато тръгнем на разходка по плажа, ще забележим още по-малки меандри. Брегът никога няма да бъде нито права, нито крива, съставена от парчета, а линия, накъсана до границата на нашето възприемане. Като фрактал.

 

Цитирай

Ако увеличим двукратно квадрата, неговото поле ще се увеличи 2² , т.е. четирикратно. Ако увеличим страната на квадрата трикратно, неговото поле ще се увеличи 3² , т.е. 9 пъти. Показателят на използваната при градуирането степен ни говори за размера на фигурата - в случая на квадрата - това е 2, тъй като квадратът остава плоска, двуизмерна фигура.

Да разгледаме шестостен. Когато увеличим страната му двукратно, обемът на шестостена ще се увеличи 2³ - осемкратно. Ако увеличим страната трикратно, обемът ще възлиза на 3³ =27 изходни шестостена. Размерността на шестостена е 3. За фракталите показателят на степента - размерът на самоподобносст - не трябва да бъде цяло число.

Растенията също показват фрактални черти. Например всяка от розичките на карфиола изглежда като миниатюрен зеленчук, съставен от поредните, по-малки розички. „Създания“ с такива свойства наричаме самоподобии. Самоподобието и проявяването при всякакъв мащаб на сложната и деликатна структура са характерни за фракталите.

Някои фрактали са „по-грапави“ и „навити“ от другите. Степента на тяхната сложност се определя от големината (мащаба), която наричаме фрактална размерност. В „нормалната“ геометрия размерността е винаги цяло число. Едноизмерни са линиите и отсечките, двуизмерни — плоските фигури, триизмерни — пространствените фигури. Фракталите попълват тази колекция с размерност, изразявана с дроби и ирационални числа. Фракталните фигури, рисувани върху лист, имат размерност между 1 и 2 — заемат много повече място от безкрайно тънка права линия, но също не изпълват изцяло фрагмента двуизмерно пространство. Пространствените фрактали, например гъбата на Менгел, имат размерност между 2 и 3.

Самоподобността е една от най-важните характеристики на фрактала. Независимо от това, в каква скала изследваме тези обекти, винаги ще намерим структури, подобни на наблюдаваните при други увеличения
 

ОТ КОМПРЕСИЯТА ДО ТВОРЕНИЕТО

Фракталите бързо намерили приложение в компресията на образите Прочутият бръмбър на Манделброт, записан като обикновена графика, може да заема стотици килобайта. Но за запаметяването на простата математическа формула, от която се образува, са достатъчни едва няколко байта.

Обикновено образите не могат да се опишат с един фрактал, често трябва да се сглобяват от няколко, дори неколкостотин. В края на 80-те години математическите основи на разлагането на образите на смесица от фрактали разработил (и патентовал) Майкъл Барнели от Georgia Institute of Technology в Атланта. Фракталната компресия донякъде ощетява. Позволява да се получи коефициент на компресия от порядъка дори на 20 000 : 1, при което в случаите на образи обикновено имаме работа със значително по-ниски коефициенти, най-често от 20 : 1 до 80 : 1. За времето си фракталната компресия била модерна, между другото, била използвана от Microsoft в мултимедийната енциклопедия Encart; до днес този тип компресия има привърженици. Но все пак масово се използват други формати, като JPEG. Това е така, защото въпреки бързото разчитане на образите записани, с фракталните методи, самата компресия (запис) все още протича много бавно.

Друго графично приложение на фракталите са изкуствените пейзажи. За пръви път били демонстрирани от Ричард Вос в споменатата книга на Манделброт. Малко по-късно Лорен Карпънтьр направил компютърна анимация представяща полет над фрактална земя и... веднага бил взет на работа от студио Pixar, занимаващо се с компютърна анимация. Фрактали били използвани в сериала „Star Trek“ за създаване на повърхността на планетата Генезис, а също така и в „Завръщането на джедаите“ за създаването на пейзажите на луните на Ендор и Звездата на смъртта. Във филмите и компютърните анимации фракталите служат не само за генериране на основата. Намират приложение при пресъздаване на изгледа на листата, снежинките, тревите, облаците. Отговорни са за необикновените форми на ЗБ обектите, и дори за самото разположение на елементите — например игличките върху клоните. Използвани са за генерирането на дву- и (особено често) триизмерни картони, благодарение на които виртуалните предмети получават цветове и форма.

Фрактална структура показват много растения. Това свойство било използвано между другото в компютърната графика за моделиране на формите и развитието както на отделните растения, както и целите екосистеми. На снимката —увеличени розички на броколи.

ОБУЗДАВАНЕ НА ХАОСА

Учените бързо забелязали, че фракталите отразяват хаотичната натура на света. Тук хаосът се разбира като непредвидимо поведение дори на относително простите физични системи, например няколко, свързани помежду си, махала или въздействащи с гравитационните си сили тела. Има уравнения, които описват такива системи, но проблемът е, че не знаем и никога няма да знаем данните, описващи първоначалното състояние. Това е класически проблем в метеорологията: Какво от това, че имаме уравнения, описващи преминаването на течности, след като информацията за състоянието на атмосферата е откъслечна, често ограничена до местата, в които се намират метеорологичните станции... Междувременно дори дребните първоначални разлики се увеличават катастрофално с течение на времето — такова е естеството на повечето математически уравнения, описващи действителността. Затова вземането под внимание в метеорологичните уравнения махването с крила на пеперуда в Бразилия седмица по-късно би могло да означава ураган в прогнозата за Англия.

Понякога този хаос може да бъде обуздан — именно с помощта на фракталите. Кийт Стил анализирал поведението на тълпата, излизаща от стадион Уембли. В продължение на три години следил кадрите от камерите на стадиона след завършване на мачове и концерти. Забелязал, че групи хора, въртящи се пред изходите, се подреждат във формата на някакви фрактали. Стил открил универсални модели и правила, според които тълпата се придвижва напред. Оказало се например, че хората по края на тълпата достигат до изхода по-бързо от тези в средата; също така има такива места, където зрителите са заклещени и почти не се движат. Стил приел, че е достатъчно на такива места да се поставят бариери или стълбове, за да — парадоксално — се ускори придвижването и да се разреди навалицата. Ученият разработил също фракталната програма Legion, която може да пресъздаде поведението дори на 250 хиляди души, струпани на ограничена територия. Благодарение на нея проектантите на зали и стадиони могат да проверят къде да бъдат изходите и как да се канализира движението на тълпата, за да не се стига до задръствания.

Много надежди се свързват с използването на фракталите в програмите, анализиращи борсовите и монетните пазари. Оказва се, че промените на валутните курсове или акциите се подреждат в криви, които са фрактални. Дилърите и маклерите, всички едновременно, се стараят да вървят в същата посока, т.е. да максимализират печалбите и минимализират загубите. От математическа гледна точка ситуацията напомня поведението на тълпата, стремяща се към единствения изход.

САМОПОДОБНА ВСЕЛЕНА?

Още през 60-те години Манделброт обяснявал, че материята във Вселената не е разположена по еднороден начин, а образува фрактал. Известно е, че в малки мащаби материята не е еднородна: групира се в звезди и планети, между които има пустота. На свой ред звездите образуват галактики, разредени в краищата, сгъстени вътре. Галактиките се групират в купове, а те в супер купове. Дълго време космолозите вярвали, че когато погледнем на Космоса в достатъчно голям мащаб, вече няма да видим никаква ясна структура — всички планети, звезди, галактики и техните купове ще се слеят в еднородна маса. Действителността се оказала различна. Както се оказва, суперкуповете вероятно не са последното звено, в което е организирана материята. Те не са равномерно разположени в космическото пространство, като стафиди в тесто, а образуват влакната на гигантска мрежа. През 2003 г. била открита т. нар. Велика стена, структура, съставена от супергалактики, разтегната на милиард светлинни години. Било забелязано, че материята се подрежда в стени от гигантски мехури, чиято вътрешност е изпълнена от празни пространства с диаметър 300—400 млн. светлинни години. Множеството от тези мехури приличат на фрактална пяна. Група астрофизици под ръководството на Лучано Пиетрони от университета в Рим смята, че това не е случайно наблюдение — че фактически имаме работа с фрактал.

Някои от приложенията на фракталите изненадват още повече. През 1996 г. група австралийски физици под ръководството на Ричард Тейлър забелязали, че картините на прочутия абстракционист Джаксън Полок са фрактали. Нещо повече, анализирайки размерността им, може с голяма точност да се посочи времето на тяхното появяване. Тези, създавани през 1943 г., в началото на периода „Рисунка на жеста“, имат размерност, близка до 1. След това степента на сложност се увеличавала: Създаденият през 1949 номер 14 има размерност 1,45 (подобно на много естествени брегови линии), a „Blue Poles“, една от последните картини на Полок, изпълнени с техника „пръскане с боя“ — дори 1,72.

ФРАКТАЛНИТЕ РАМКИ НА КРАСОТАТА

Защо ни харесват картините на Полок? Циниците ще кажат, че тяхната стойност им придава красота. За да провери опитно, откъде идва чарът на Полоковите картини, Тейлър бил готов механично да генерира цели серии фалшиви „Полок“, с различна фрактална размерност, а също така „пръскани“ картини, но не с фрактална структура. Показал своите произведения на 120 доброволци, проверявайки кои ще им харесат най-много. 113 човека избрали фракталните образци, при това повечето посочвали тези с размери между 1,3 и 1,5.

Също такива интригуващи резултати ще получим, анализирайки предпочитанията си към други произведения на изкуството, например в музиката. Харесваме фигурите, които не са прекалено монотонни и стандартни, но също не ни мъчат и с пълно безредие. Предпочитаме нежните вариации на темите в концерта на Бетовен пред ритмичното повтаряне на гамите или случайната какофония. Джеймс Вайс, професор от Washington State University и сътрудник на Тейлър, смята, че това е наследство от нашите далечни прадеди.

В безкрайните простори на саваната, сред люлените от вятъра треви, всяка опасност била забелязвана отдалеч. Различно е било в джунглата сред гъсталака от листа и клони, който със сигурност е имал по-високо фрактално измерение. Най-вероятно нашето предпочитание към фрактали от по-ниски измерения няма много общо с вродения ни усет за красота — обяснявал Тейлър. Това по-скоро е въпрос на инстинкта за самосъхранение.

Източник: Наука и техника, януари, 2008