Сборът от всички числа

[mnogoznaiko]

Сборът от всички числа (от 1 до безкрайност) е равно на... = -1/12

[morgoth0011]

Загадката се клони в множествата на целите и естествените числа. Сумата от нула до инфинити включва в себе си цялото множество на естествените числа, а в първите две числовите редици, той разширява това множеството до това на целите числа, след което изразява едното чрез другото, получавайки като отговор рационално число, което представлява един вид грешката която можем да направим при сумирането. При крайно сумиране(с компютър) няма как да получим отрицателно число. Друга (физична) теория гласи че след + безкрайност следва - безкрайност т.е пространството се затваря.

Редактирано Януари 21, 2014 от morgoth0011

[Doris]

Нужно е някакво допълнително правило, за да твърдим, че S₁ = 1/2.

За обикновената математика S₁ =0 ако броят на събираемите е четен и S₁ =1 ако е нечетен. Няма сходяща редица, за да се приложи сумиране при брой , клонящ към безкрайност.

[Gravity]

Да, реда S₁ е разходящ, но ако трябва да му съпоставим стойност трябва да е 1/2. Съвсем очевидно е, че 1-S₁=S₁.

[Шпага]

Завиждам ви, че ги разбирате тези... неща. Аз и с пистолет, опрян в челото ми, не бих успяла да ги проумея Ако преди да прочета темата някой ме беше попитал какъв е сборът между плюс безкрайност и минус безкрайност веднага щях да отговоря, че е нула...

[Doris]

Повечето имаме граници на разбирането , но като видим един странен резултат: - 1/12 би трябвало да се запитаме защо става така. Ако говориш за първия ред, от редуващи се 1 и -1, то има значение подреждането, с какво почваме, това не са насипни числа от плюс безкрайност до минус безкрайност.

Да, реда S₁ е разходящ, но ако трябва да му съпоставим стойност трябва да е 1/2. Съвсем очевидно е, че 1-S₁=S₁.

Значи пак се въвежда правилото: на ред, частичните суми на който се повтарят периодично да съпоставим средното аритметично на тези суми и да го наречем сума при n →_∞

[Gravity]

Не се въвежда правило. Просто се казва, ако ще му препишем сума, означаваме я с S и я пресмятаме все едно съществува. Тогава се получава 1/2.

[Doris]

Аха, допускаш, че S₁ съществува. Усмихнатият симпатяга от клипчето обаче обяснява нещата малко по-различно и не допуска, а твърди.

[Gravity]

Допускане не е същото като ново правило. Въпроса е на какво е рано 1-1+1-1+1-.... Отговора разбира се е, че реда е разходящ, но ако имаше сума то тя трябва да е 1/2. Например заради разсъждението което написах по горе, а не заради въвеждането на ново правило.

[laplandetza]

Е, това е лесна работа, сборът на естествените числа е неопределен, безкраен, такъв какъвто е и <броя> на самите естествени числа. Това на шега, обаче това изглежда да е. Говорим за цели положителни числа, нали това е в началото на клипа...

[Gravity]

В самия клип има препратка към друг клип специално за 1-1+1-..... На край на този клип има нещо интересно. Правим следното нещо: разглеждаме частичните суми на реда, именно 1, 0, 1, 0, .... Всеки път когат срещнем 1 светваме лампата, когато срещнем нула я изключваме. Първото светване трае една минута, последвалото изключване трае половин минута, последвалото светване трае четвърт минута и т.н. Времето което отнема за всичките тези вклювания и изключвания е 1+1/2+1/4+1/8+1/16+...=2. Което означава, че след две минути всичко ще е приключило. Сега въпроса е ще свети ли лампата или не? Ако сумата на първия ред е 1, тогава ще свети, ако е 0, тогава няма да свети, а ако е 1/2 какво ще е състоянието на лампата?

[Doris]

Тоя ли? Като остане време ще го гледам

[Gravity]

Да, този, от същият тип е.

[Doris]

Ето и допълнение:

Значи, не е точно граница, но има съответствие във физическия свят, въпрос на интерпретация, както обичат да казват любителите на квантовата механика.

[Gravity]

Какво е съответствието във физическия свят?

[Doris]

Лампа на Томсън

http://en.wikipedia.org/wiki/Thomson%27s_lamp

http://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/gotcha/ch6/07.html

[Gravity]

А, това ли. Аз преди час два написах нещо не съвсем директно, но в същата посока.

http://nauka.bg/forum/index.php?app=blog&module=display&section=blog&blogid=7&showentry=118

[Doris]

Изглежда така решаваш проблема с крайния живот на човека, но ми се струва, че все пак трябва да имаш безкрайно работещ компютър - да може да смята през цялото време докато ти самоотвержено и безкрайно (за копютъра) падаш в бездната.

[Gravity]

Да, предполагаме, че няма проблеми с ресурсите. Но ако трябва ще идем до въртяща се черна дупка (то така или иначе шанса е да се върти) и ще използваме процеса на Пенроуз за извличане на енергия от дупката. От друга страна дупката може да се изпари.

Сори за отклонението.

[Шпага]

Сборът от всички числа (от 1 до безкрайност) е равно на... = -1/12

А изчислен на същия принцип, сборът от половината от всички числа /от 1 до безкрайност/ на колко е равен? Според мен пак на -1/12. На толкова трябва да е равен и сборът от една трета, една четвърт, една пета и т.н. - до безкрайност! - от всички числа от едно до безкрайност.

[Gravity]

Зависи какво разбираш под половината и коя половина. Ако вземеш всички четни числа, които изглежда са половината от всичките, тогава тяхната сума 2+4+6+8+...=2(1+2+3+4+...) е два пъти сумата на всичките. Което е интересно. Но пък дали те са половина от всичките. Броят им е точно толкова колкото на всичките.

[Guest]

Парадоксът идва поради използваната дефиниция за сума, тази дефиниция обаче не е единствената възможна и затова използването на резултатите от цялата конструкция за физически приложения ми се струва необосновано и рисковано. На уики страницата на Тhomson lamp това е казано ясно:

" The unending series in the brackets is exactly the same as the original series S. This means S = 1 - S which implies S = ½. In fact, this manipulation can be rigorously justified: there are generalized definitions for the sums of series that do assign Grandi's series the value ½. On the other hand, according to other definitions for the sum of a series this series has no defined sum (the limit does not exist)."

Те показват в клипа че в теорията на струните S1 = 1/2 се използвало, но не уточняват за какво. По принцип дефинициите на суми на сходящи и разходящи числови редици имат за цел да покажат граница от крайно число или безкрайност. Тук обаче сумата не е дефинирана защото няма известна граница.

Тези числови примери ми изглеждат вариации на парадокса на Зено и отговора на Аристотел. Първата книга в литературата на уики страницата на Thomson lamp споменава тези имена в заглавието си, но не е достъпна за четене за съжаление. Но и без нея, накратко парадоксът на Зено показва че при приемем безкрайна делимост то феномена на движението е невъзможен, защото трябва винаги да минаваме през половинката на половинката на нужното разстояние и така до безкрайност. Отговорът на Аристотел е че това е само логическа безкрайна делимост, а не фактическа, физически съществуваща и изпълнима. Следователно логически ние можем да строим всякакви модели които в рамките на приетите от нас дефиниции да са безкрайни, например безкрайно големи, безкрайно делими и т.н., но тези модели нямат физичен смисъл, те са само плод на нашето мислене и наложените от него дефиниции.

[Doris]

Общото е само това , че се наричат парадокси.

Парадоксът на Зенон е отдавна решен , но не от Аристотел, а от Лайбниц.

[Gravity]

Три плюса за пост номер 22!

[Doris]

Айде , сега не брой плюсове, а четни - нечетни. Защо сборът на четните числа да е по-голям от сбора на всичките?